Matematika

Euclid, Matematikawan Yunani tersohor pada abad ke-3 SM, seperti
yang digambarkan oleh Raphael di dalam karyanya, Sekolah Athena.

Matematika atau sebelumnya dikenal sebagai ilmu hisab, adalah satu bidang ilmu yang mempelajari kuantitas, struktur, ruang dan perubahan. Matematikawan mencari pola, memformulasikan konjektur yang baru, dan menghasilkan fakta dengan deduksi rapi dari aksioma dan definisi yang dipilih dengan baik. 

Ada perbedaan pendapat apakah objek matematika seperti nomor terjadi secara alami, ataupun hasil ciptaan manusia. Matematikawan Benjamin Peirce menggelar matematika sebagai "sains yang memberi kesimpulan yang tepat". Albert Einstein justru menyatakan "selagi hukum matematika itu mengacu pada realitas, maka ia tidak pasti, dan selama itu pasti, ia tidak mengacu pada realitas".

Dengan penggunaan abstraksi dan penalaran logis, matematika berkembang dari pembilangan, perhitungan, pengukuran, dan studi sistematis terhadap bentuk dan gerakan objek fisik. Matematika terapan telah ada dalam aktivitas keseharian manusia sejak adanya catatan tertulis. Argumen yang rapi mulai ada dalam Matematika Yunani, antara yang terkenal adalah karya Euclid, Elemen. Matematika yang kemudian terus berkembang, misalnya di Cina pada abad ke-3 SM, di India pada abad pertama Masehi dan di dunia Islam pada abad ke-8 Masehi, sehingga munculnya Renaisans, ketika penciptaan matematika berinteraksi dengan penemuan ilmiah yang baru, menyebabkan peningkatan yang sangat besar dalam penemuan matematika yang tetap berlanjut sampai hari ini.

Matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di dalam berbagai bidang, termasuk ilmu alam, teknik, kedokteran dan ilmu sosial. Matematika terapan, satu cabang matematika yang mempelajari aplikasi ilmu matematika ke dalam bidang lain, memberi inspirasi dan memanfaatkan penemuan matematika yang baru dan kadangkala menjadi pemicu pengembangan disiplin matematika yang baru sepenuhnya seperti statistik dan teori permainan. Matematikawan juga terlibat dalam matematika murni, satu cabang matematika yang khusus untuk bidangnya saja, tanpa aplikasi ke dalam bidang yang lain, meskipun aplikasi yang praktis untuk apa yang dimulai sebagai matematika murni sering ditemui.

Etimologi

Kata "matematika" dipinjam dari kata bahasa inggris yaitu "mathematics" sebenarnya berasal dari Yunani μάθημα (máthēma), yang berarti mempelajari, menimba, sains, dan ia didatangi untuk menjurus kepada makna yang lebih sempit dan lebih teknis berarti "bidang matematika", bahkan di zaman klasik. Kata adjektifnya adalah μαθηματικός (mathēmatikós), berhubung dengan pembelajaran, atau dipelajari, yang lebih berarti matematis. Dalam hal tertentu, μαθηματικὴ τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē), dalam bahasa Latin ars mathematica, berarti seni matematika.

Bentuk jamak yang jelas di dalam bahasa Inggris, seperti juga bahasa Perancis bentuk jamak les mathématiques (dan bentuk ambilan singular yang kurang digunakan la mathématique), berbalik kepada kata jamak netral Latin mathematica (Cicero), berdasarkan bentuk jamak Yunani τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), yang telah digunakan oleh Aristoteles, dan itu berarti secara kasar sebagai "semua benda adalah matematika". Dalam bahasa Inggris, bagaimanapun, kata noun mathematics mengambil bentuk kata singular. Ini biasa disingkat menjadi math dalam wilayah Amerika Utara yang berbahasa Inggris dan maths di tempat lain.

Sejarah

Sebuah quipu, yang digunakan
oleh Inca untuk merekam nomor.

Proses evolusi matematika dapat dilihat sebagai satu penambahan berkelanjutan seri-seri abstraksi, atau satu pengembangan isi. Abstraksi pertama yang dibagi oleh banyak hewan, kemungkinannya adalah nomor; misalnya kesadaran yang dua apel dan dua jeruk memiliki satu kesamaan.

Selain pengetahuan membilang objek fisik, manusia prasejarah juga mengetahui bagaimana untuk menghitung kuantitas abstrak seperti waktu - hari, musim, tahun. dan diikuti dengan kemampuan aritmatika awal seperti (penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian).

Angka dicatat dalam berbagai sistem seperti kayu penghitung ataupun untaian bersimpul yang dikenal sebagai quipu yang digunakan oleh orang Inca. Ada banyak jenis sistem angka pertama, dan angka tertulis pertama yang diketahui, dicatat oleh orang Mesir kuno. Peradaban Lembah Indus telah mengembangkan sistem desimal modern yang pertama, termasuk konsep kosong.

Angka Maya

Matematika pada mulanya digunakan dalam perdagangan, pengukuran tanah, pola tenunan dan lukisan dan untuk mencatat waktu. Ilmu ini menjadi semakin maju setelah 3000SM ketika orang Babilonia dan Mesir Kuno mulai menggunakan aritmetika, aljabar dasar dan geometri untuk pajak dan lain-lain perhitungan keuangan, konstruksi dan astronomi. Pengkajian matematika secara sistematis telah dimulai oleh orang Yunani Kuno antara tahun 600 dan 300SM.

Semenjak itu, ilmu matematika berkembang dengan pesat dan ada juga interaksi yang bermanfaat antara matematika dan sains yang memberikan manfaat kepada keduanya. Penemuan-penemuan terbaru dalam matematika terjadi sepanjang sejarah manusia dan proses in berlanjut sampai hari ini. Menurut Mikhail B. Sevryuk, dalam Bulletin of the American Mathematical Society isu Januari 2006, '"Jumlah dokumen dan buku yang ada dalam database Mathematical Reviews sejak 1940 (tahun pertama operasi MR) adalah melebihi 1,9 juta, dan lebih 75 ribu item ditambahkan ke dalam database setiap tahun. Mayoritas besar hasil kerja dalam database ini berisi teorema matematika yang baru dan bukti-buktinya.

Ilham, Matematika murni dan terapan, dan estetika

Isaac Newton (kiri) dan 

Gottfried Wilhelm Leibniz (kanan),pengembang kalkulus

Matematika timbul dari berbagai macam masalah. Pada awalnya ini ditemukan dalam perdagangan, pengukuran tanah, arsitektur dan kemudian astronomi; hari ini, semua ilmu menyarankan permasalahan yang diteliti oleh matematikawan, dan banyak masalah timbul dalam matematika itu sendiri. Misalnya, fisikawan Richard Feynman menemukan rumus integral lintasan mekanika kuantum menggunakan kombinasi penalaran matematika dan wawasan fisika, dan teori string saat ini, teori ilmiah yang masih berkembang yang mencoba untuk menyatukan empat gaya dasar alam, terus menginspirasi matematika baru.

Beberapa matematika hanya relevan di wilayah yang mengilhaminya, dan diterapkan untuk memecahkan masalah lebih lanjut di daerah itu. Namun seringkali matematika diilhami oleh satu bidang membuktikan berguna dalam banyak bidang, dan bergabung dengan saham umum konsep-konsep matematika. Perbedaan sering dibuat antara matematika murni dan matematika terapan. Namun topik matematika murni sering ternyata memiliki aplikasi, misalnya number theory in cryptography. Fakta yang luar biasa ini, yang bahkan "murni" matematika sering ternyata memiliki aplikasi praktis, adalah apa yang Eugene Wigner telah disebut "the unreasonable effectiveness of mathematics"(efektivitas masuk akal matematika). Seperti yang terjadi kepada kebanyakan bidang pengajian yang lain, perkembangan ilmu pengetahuan dalam zaman saintifik telah membawa kepada pengkhususan dalam Matematik; hari ini terdapat ratusan bidang pengkhususan dalam matematik dan Mathematics Subject Classification yang terbaru telah mencapai 46 halaman. Beberapa bidang matematika terapan telah bergabung dengan tradisi terkait di luar bidang matematika dan telah menjadi satu disiplin yang tersendiri, diantaranya statistik, penelitian operasional dan ilmu komputer.

Kepada mereka yang cenderung dalam matematika, akan selalu ada bagi mereka aspek estetika dalam matematika. Banyak ahli matematika membicarakan tentang "keanggunan" matematika, estetika intrinsiknya dan kecantikan internalnya. Ada keindahan dalam bukti matematika yang ringkas dan anggun. Misalnya, pembuktian Euclid terhadap jumlah tidak terhingga nomor perdana dan metode numerik yang anggun yang mepercepatkan perhitungan, seperti transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy dalam A Mathematician's Apology menyatakan yang dia percaya pertimbangan estetika saja cukup untuk membenarkan pengkajian matematika murni.

Notasi, bahasa, dan ketelitian

Leonhard Euler, yang membuat dan
mempopulerkan banyak notasi matematika
yang digunakan saat ini

Kebanyakan notasi matematika tidak diperkenalkan sampai abad ke-16. Sebelum itu, rumus-rumus matematika ditulis menggunakan kata, satu metode yang menyusahkan yang membatasi penemuan matematika. Pada abad ke-18, Euler bertanggung jawab memperkenalkan banyak notasi seperti yang digunakan hari ini. Notasi modern membuat matematika lebih mudah untuk para profesional, tetapi membingungkan golongan yang baru mempelajarinya. Notasi telah merangkum banyak deskripsi, dengan beberapa simbol berisi informasi yang banyak. Seperti juga notasi musik, notasi matematika modern memiliki sintaks yang ketat dan mengkodekan informasi yang mungkin sulit ditulis dalam cara yang lain. Bahasa matematika bisa menjadi sulit bagi mereka yang baru mempelajarinya. Kata seperti "atau" dan "hanya" memiliki maksud yang lebih rinci dari apa yang digunakan dalam percakapan sehari. Selain itu, kata seperti "buka dan lapangan" telah diberikan maksud matematika yang khusus. Jargon matematika termasuk istilah teknis seperti homeomorfisma dan integral. Oleh karena matematika membutuhkan detail yang lebih dari percakapan harian, notasi khusus dan jargon teknis diperlukan. Matematikawan menggelar Perincian bahasa dan logika ini sebagai "ketelitian".

Simbol infiniti ∞ dalam beberapa ukuran taipan.

Ketelitian pada dasarnya adalah satu bukti matematika. Matematikawan menginginkan teorema-teorema mereka berdasarkan aksioma-aksioma hasil dari penalaran sistematis. Ini untuk menghindari kesalahan teorema-teorema akibat dari intuisi yang salah, yang pernah terjadi dalam sejarah bidang ini.

Tingkat ketelitian dalam matematika sering berubah sepanjang zaman: orang Yunani cenderung kepada argumen yang rinci (ketelitian tinggi), tetapi pada zaman Isaac Newton metode yang digunakan adalah kurang teliti. Masalah yang timbul dari metode yang digunakan Newton telah menyebabkan kebangkitan analisis rinci dan bukti formal pada abad ke-19. Hari ini, matematikawan terus berdebat antara mereka tentang bukti bantuan komputer, karena perhitungan yang besar sangat sulit dikonfirmasi dan bukti-buktinya mungkin tidak cukup teliti. 

Aksioma dalam pemikiran tradisional adalah "kebenaran terbukti dengan sendiri", tetapi konsepsi ini ternyata bermasalah. Pada tingkat formal, satu aksioma hanyalah satu string simbol yang memiliki makna intrinsik hanya dalam konteks rumus-rumus turunan satu sistem aksioma. Adalah menjadi tujuan program Hilbert untuk meletakkan semua matematika di atas dasar aksioma yang kokoh, tetapi menurut Teorema ketaklengkapan Gödel, setiap sistem aksioma (yang cukup kuat) memiliki rumus yang tidak dapat ditentukan; jadi satu pengaksioman yang akhir untuk matematika adalah mustahil. Namun, matematika sering digambarkan (sehingga konten formalnya) cuma teori set dalam beberapa pengaksioman, dalam arti setiap pernyataan matematika atau buktinya dapat dirangkumkan ke dalam rumus-rumus di dalam teori set.

Matematik sebagai Sains

Carl Friedrich Gauss, yang dikenal sebagai
"putera ahli matematika",
merujuk matematika sebagai "ratu kepada sains".

Carl Friedrich Gauss mengacu matematika sebagai "ratu kepada sains (ilmu pengetahuan)". Dalam bahasa Latin, Regina Scientiarum dan juga bahasa Jerman Königin der Wissenschaften, Kata "sains" berarti (bidang) ilmu pengetahuan, yang juga merupakan maksud aslinya dalam bahasa Inggris, dan tidak diragukan lagi yang matematika dengan kata lain adalah sejenis sains. Spesialisasi yang membatasi takrifannya kepada sains "alami" telah dibuat kemudian. Jika seseorang menganggap sains cuma terbatas pada hal tentang alam fisik, maka matematika atau setidaknya matematika murni, bukanlah sejenis ilmu. Albert Einstein menyatakan "sejauh mana hukum-hukum matematika mengacu pada realitas, maka tidak ada kepastian baginya; dan sejauh mana kepastian wujud dari hukum-hukum tersebut; ia tidak mengacu pada realitas."

Banyak filsuf percaya yang matematika tidak bisa ditentukan kebolehpalsuannya melalui eksperimen, jadi itu bukanlah sejenis ilmu berdasarkan pengertian Karl Popper. Namun pada tahun 1930-an, penelitian penting dalam logika matematika telah menunjukkan yang matematika tidak dapat diturunkan ke tingkat logika, dan Karl Popper menyimpulkan bahwa "sebagian besar teori matematika adalah sama seperti teori fisika dan biologi yang diterbitkan dari hipotesis: jadi matematika murni sebenarnya lebih dekat dengan ilmu alam di mana hipotesisnya dilakukan dengan acak, dibandingkan dengan apa yang diamati sekarang. Pemikir lain yang terkenal seperti Imre Lakatos, telah mengaplikasikan satu versi pemalsuan kepada matematika itu sendiri.

Satu pandangan alternatif menyatakan yang beberapa bidang sains (seperti ilmu fisika teori) adalah matematika dengan aksioma yang bertujuan untuk dicocokkan dengan realitas. Seorang ahli fisika teori, J. M. Ziman, menyarankan sains menjadi "ilmu pengetahuan umum" dan memasukkan matematika ke dalamnya. Matematika berbagi banyak hal yang sama dengan bidang dalam ilmu fisika, terutama dalam eksplorasi tentang konsekuensi logis asumsi-asumsi. Intuisi dan percobaan juga berperan penting dalam perumusan konjektur dalam matematika dan sains-sains yang lain. Matematika eksperimen terus berkembang menjadi satu entitas utama dalam matematika selain perhitungan dan simulasi yang terus berperan penting dalam kedua sains dan matematika, sekaligus menyanggah pendapat beberapa pihak yang menuduh matematika tidak menggunakan metode ilmiah. Dalam bukunya A New Kind of Science terbitan tahun 2002, Stephen Wolfram berpendapat yang matematika perhitungan layak ditelusuri secara empiris sebagai satu bidang ilmiah yang tersendiri.

Pendapat ahli matematika tentang hal ini adalah berbagai. Banyak dari mereka yang merasakan pengelasan matematika sebagai satu sains telah merendahkan kepentingan sisi estetikanya, dan sejarahnya dalam tujuh seni liberal tradisional; ada pula yag berasakan dengan meniadakan hubungannya dengan sains, akan mengabaikan fakta yang interaksi antara matematika dan gunaannya dalam sains dan rekayasa telah banyak membantu perkembangan matematika. Perbedaan pendapat ini telah membuka ruang perdebatan tentang filsafat apakah matematika "dibuat" (seperti dalam seni) atau "ditemukan" (seperti dalam sains). Sudah menjadi kebiasaan di universitas di mana ada bagian atau departemen yang dinamakan "Sains dan Matematika", menunjukkan yang kedua bidang selalu saling bergandengan tetapi tidak sama.

Dalam praktek, ahli matematika biasanya bekerjasama dengan para ilmuwan pada tingkat kasar tetapi akan bekerja terpisah pada tingkat lebih rinci. Ini adalah antara isu yang dipertimbangkan dalam filosofi matematika.

Penghargaan matematika biasanya diisolasi dari penghargaan sains. Penghargaan paling bergengsi dalam matematika adalah Fields Medal, didirikan pada tahun 1936 dan diberikan setiap empat tahun. Ia sering dianggap setara dengan penghargaan untuk prestasi ilmiah, yaitu penghargaan Nobel. Penghargaan Wolf dalam matematika yang dimulai pada tahun 1978, mengakui prestasi seumur hidup, dan satu lagi penghargaan internasional utama, penghargaan Abel, diperkenalkan pada tahun 2003. Ia dianugerahi untuk prestasi seperti penciptaan, atau solusi untuk masalah utama dalam bidang yang mantap. Satu daftar terkenal 23 masalah terbuka, yang dijuluki "masalah Hilbert", telah disusun pada tahun 1900 oleh ahli matematika Jerman David Hilbert. Daftar ini sangat terkenal di kalangan ahli matematika, dan setidaknya enam dari masalah tersebut telah diselesaikan. Satu daftar baru tujuh masalah penting, berjudul "Masalah penghargaan milenium" (Millennium Prize Problems) diterbitkan pada tahun 2000. Solusi untuk setiap masalah ini akan dihargai sebesar $ 1 juta, dan cuma satu masalah yaitu Hipotesis Riemann telah diambil dari "masalah Hilbert".

Bidang matematika

Matematika dapat, secara umum, dibagi ke dalam studi kuantitas, struktur, ruang, dan perubahan (yaitu aritmatika, aljabar, geometri, dan analisis). Selain keprihatinan utama, ada juga subdivisi didedikasikan untuk menjelajahi link dari jantung matematika untuk bidang lain: logika, mengatur teori (yayasan), untuk matematika empiris dari berbagai ilmu (matematika terapan), dan baru-baru dengan studi ketat ketidakpastian. Sementara beberapa daerah mungkin tampak tidak berhubungan, program Langlands telah menemukan hubungan antara daerah yang sebelumnya berpikir tidak berhubungan, seperti kelompok Galois, permukaan Riemann dan nomor teori.

Dasar dan falsafah

Untuk memperjelas dasar matematika, bidang logika matematika dan teori himpunan dikembangkan. logika matematika mencakup studi matematika logika dan aplikasi logika formal ke area lain dari matematika; teori himpunan adalah cabang matematika yang mempelajari set atau koleksi benda-benda. Kategori teori, yang berurusan dengan cara yang abstrak dengan struktur matematika dan hubungan di antara mereka, masih dalam pengembangan. Ungkapan "krisis dasar" menggambarkan pencarian dasar ketat untuk matematika yang berlangsung dari sekitar 1900 sampai 1930. [50] Beberapa ketidaksepakatan tentang dasar-dasar matematika berlanjut hingga hari ini. Krisis yayasan dirangsang oleh sejumlah kontroversi pada saat itu, termasuk kontroversi atas teori himpunan Cantor dan kontroversi Brouwer-Hilbert.

logika matematika berkaitan dengan pengaturan matematika dalam kerangka aksiomatik ketat, dan mempelajari implikasi dari kerangka tersebut. Dengan demikian, itu adalah rumah bagi teorema ketidaklengkapan Gödel yang (informal) menyiratkan bahwa setiap sistem resmi yang efektif yang berisi aritmatika dasar, jika suara (yang berarti bahwa semua teorema yang dapat dibuktikan benar), adalah tidak lengkap (yang berarti bahwa ada teorema benar yang tidak dapat dibuktikan dalam sistem itu). Apapun koleksi terbatas aksioma nomor teoritis diambil sebagai landasan, Gödel menunjukkan bagaimana membangun pernyataan resmi bahwa adalah fakta nomor teoritis benar, tetapi yang tidak mengikuti dari orang-orang aksioma. Oleh karena itu, tidak ada sistem formal yang merupakan aksiomatisasi lengkap nomor teori penuh. Logika modern dibagi menjadi teori rekursi, teori model, dan teori bukti, dan berhubungan erat dengan teori ilmu komputer, serta teori kategori. Dalam konteks teori rekursi, ketidakmungkinan dari axiomatization penuh nomor teori dapat juga secara resmi ditunjukkan sebagai konsekuensi dari teorema MRDP. 

Teoritis ilmu komputer meliputi teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasi, dan teori informasi. Teori komputabilitas memeriksa batasan berbagai model teoretis komputer, termasuk model yang paling terkenal - mesin Turing. Teori kompleksitas adalah studi tentang tractability oleh komputer; beberapa masalah, meskipun secara teoritis dipecahkan oleh komputer, begitu mahal dalam hal waktu atau ruang yang memecahkan mereka akan tetap praktis tidak layak, bahkan dengan majunya perangkat keras komputer. Masalah yang terkenal adalah "P = NP?" masalah, salah satu Millennium Prize Problems. Akhirnya, teori informasi berkaitan dengan jumlah data yang dapat disimpan pada media yang diberikan, dan karenanya berkaitan dengan konsep-konsep seperti kompresi dan entropi

Matematika murni

Kuantitas

Studi kuantitas dimulai dengan angka, pertama bilangan akrab dan bilangan bulat ("seluruh nomor") dan operasi aritmatika pada mereka, yang ditandai dalam aritmatika. Sifat lebih dalam bilangan bulat dipelajari di nomor teori, dari mana datang hasil seperti populer sebagai Fermat's Last Theorem. Teori nomor juga memiliki dua masalah terkenal yang tidak dapat diselesaikan; konjektur prima kembar dan konjektur Goldbach.

Sebagai sistem nomor dikembangkan lebih lanjut, bilangan bulat diakui sebagai bagian dari bilangan rasional ("pecahan"). Ini, pada gilirannya, yang terkandung dalam bilangan real, yang digunakan untuk mewakili jumlah terus menerus. bilangan real yang digeneralisasi untuk bilangan kompleks. Ini adalah langkah pertama dari hirarki nomor yang berlangsung untuk menyertakan quaternions dan octonions. Pertimbangan dari nomor asli juga mengarah ke nomor transfinite, yang memformalkan konsep "infinity". Menurut teorema dasar aljabar semua solusi dari persamaan dalam satu tidak diketahui dengan koefisien kompleks bilangan kompleks, terlepas dari derajat. Bidang lain penelitian adalah ukuran set, yang digambarkan dengan angka kardinal. Ini termasuk angka aleph, yang memungkinkan perbandingan yang berarti dari ukuran set besar tak berhingga.

Struktur

Banyak objek matematika seperti set nomor dan fungsi, menunjukkan struktur internal. Sifat struktur objek-objek ini diselidiki dalam penelitian kelompok, lapangan, medan dan sistem abstrak lainnya. Satu konsep penting di sini adalah vektor yang diamkan ke ruang vektor, dan dikaji dalam aljabar linear. Ulasan tentang vektor memadukan tiga lapangan dasar matematika; kuantitas, struktur dan ruang. Beberapa masalah lama berkenaan kompas dan konstruksi tepi lurus akhirnya dapat diselesaikan oleh teori Galois.